Les extrema représentent les jalons critiques dans le parcours d'une fonction. Nous faisons la distinction entre le absolu (global)—le sommet ou le creux final sur tout l'intervalle—et le local—les sommets et creux qui sont plus élevés ou plus bas que leurs voisins immédiats. Ces points sont les objectifs principaux lors de l'optimisation des systèmes physiques, allant de la trajectoire d'une fusée à la réduction de la consommation de carburant.
1. Définitions formelles des extrema
Définition 1 : Extrema absolus
Soit $c$ un nombre appartenant au domaine $D$ d'une fonction $f$.
- $f(c)$ est le maximum absolu si $f(c) \ge f(x)$ pour tout $x$ dans $D$.
- $f(c)$ est le minimum absolu si $f(c) \le f(x)$ pour tout $x$ dans $D$.
Définition 2 : Extrema locaux
$f(c)$ est un maximum local (ou minimum) si $f(c) \ge f(x)$ (ou $f(c) \le f(x)$) lorsque $x$ est proche de $c$.
2. Garantie d'existence : Théorème des valeurs extrêmes (TVE)
Trouver une solution n'est possible que si une solution existe. Le Théorème des valeurs extrêmes garantit : Si $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$, alors $f$ doit atteindre à la fois un maximum absolu et un minimum absolu.
Considérez la différence dans les fonctions transcendantes :
- Exemple 1 (Périodique) : $f(x) = \cos x$ atteint son maximum absolu de 1 une infinité de fois (lorsque $x = 2n\pi$).
- Exemple 3 (Puissance) : $f(x) = x^3$ (sur $(-\infty, \infty)$) n'a aucun d'extrema du tout, car elle augmente et diminue sans limite.
3. Symétrie et croissance
Si $f(-x) = f(x)$, la fonction est paire et symétrique par rapport à l'axe des $y$. Cela implique qu'un minimum local en $x = 2$ entraîne nécessairement un minimum identique en $x = -2$. Nous voyons cela dans $f(x) = x^2$ (Exemple 2), où $f(0)=0$ est à la fois un minimum local et absolu.
🎯 Principe fondamental
Pour trouver les extrema absolus sur $[a, b]$, évaluez la fonction aux nombres critiques à l'intérieur et aux extrémités $a$ et $b$. La plus grande valeur est le maximum absolu ; la plus petite est le minimum absolu.